【正态分布的概率密度函数怎么计算】在统计学中，正态分布是最常见、最重要的概率分布之一。它广泛应用于自然科学、社会科学、工程等领域，用来描述许多自然现象和随机变量的分布情况。正态分布的概率密度函数（Probability Density Function, PDF）是理解该分布的基础，下面将对正态分布的概率密度函数进行总结，并以表格形式展示其关键信息。

一、正态分布的概率密度函数公式

正态分布的概率密度函数定义如下：

$$

f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}

$$

其中：

- $ x $ 是随机变量的取值；

- $ \mu $ 是均值（期望），表示分布的中心位置；

- $ \sigma $ 是标准差，表示数据的离散程度；

- $ \pi $ 是圆周率，约等于3.1416；

- $ e $ 是自然对数的底，约等于2.7183。

二、正态分布的概率密度函数计算步骤

1. 确定参数：首先需要知道随机变量的均值 $ \mu $ 和标准差 $ \sigma $。

2. 代入公式：将 $ x $、$ \mu $、$ \sigma $ 代入上述公式。

3. 计算指数部分：先计算 $ (x - \mu)^2 $，再除以 $ 2\sigma^2 $，得到指数部分。

4. 计算指数函数：使用自然指数函数 $ e^{\text{指数部分}} $。

5. 乘以系数：最后乘以 $ \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} $ 得到概率密度值。

三、正态分布概率密度函数的关键特征

四、示例计算

假设某次考试成绩服从正态分布，均值 $ \mu = 70 $，标准差 $ \sigma = 10 $，求成绩 $ x = 75 $ 的概率密度值。

计算过程：

1. $ x = 75 $

2. $ \mu = 70 $, $ \sigma = 10 $

3. $ x - \mu = 5 $

4. $ (x - \mu)^2 = 25 $

5. $ 2\sigma^2 = 2 \times 100 = 200 $

6. 指数部分：$ -\frac{25}{200} = -0.125 $

7. $ e^{-0.125} \approx 0.8825 $

8. 系数：$ \frac{1}{10 \times \sqrt{2\pi}} \approx \frac{1}{25.066} \approx 0.0399 $

9. 最终结果：$ f(75) = 0.0399 \times 0.8825 \approx 0.0352 $

五、总结

正态分布的概率密度函数是描述连续型随机变量分布的重要工具。通过掌握其公式与计算方法，可以更好地理解数据的分布规律，并用于实际问题的分析与建模。在实际应用中，通常借助统计软件或计算器来完成复杂的数值计算，但理解其基本原理是必不可少的。

附表：正态分布概率密度函数关键参数对照表

通过以上内容，我们可以清晰地了解正态分布的概率密度函数是如何计算的，并掌握了相关的基础知识与计算方法。