在高等数学中，求解定积分是一个重要的课题。本文将围绕一个特定形式的定积分展开讨论，即“根号下（1+x²）分之一”的定积分。这种类型的积分不仅在理论研究中有重要意义，而且在物理学、工程学等领域也有广泛应用。

首先，我们来明确问题的形式。我们需要计算的是如下定积分：

\[ \int \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx \]

这是一个经典的不定积分问题，其结果可以通过换元法或三角代换来解决。一种常见的方法是使用双曲函数替换。令 \( x = \sinh(t) \)，则有 \( dx = \cosh(t) \, dt \)，并且 \( 1 + x^2 = 1 + \sinh^2(t) = \cosh^2(t) \)。因此，原积分变为：

\[ \int \frac{\cosh(t)}{\sqrt{\cosh^2(t)}} \, dt = \int 1 \, dt = t + C \]

由于 \( x = \sinh(t) \)，所以 \( t = \arcsinh(x) \)。因此，最终的结果为：

\[ \int \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx = \arcsinh(x) + C \]

这里的 \( C \) 是积分常数。这个结果表明，该积分的结果可以用反双曲正弦函数来表示。

进一步地，如果我们考虑从 \( a \) 到 \( b \) 的定积分：

\[ \int_a^b \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx = \arcsinh(b) - \arcsinh(a) \]

这种方法不仅简化了计算过程，还提供了一种直观的方式来理解积分的意义。通过这样的变换和计算，我们可以更好地掌握此类积分的本质及其应用。

总之，“根号下（1+x²）分之一”的定积分虽然看似复杂，但通过适当的数学工具和技术手段，可以有效地求解并理解其背后的数学原理。希望本文能够帮助读者加深对该类积分的理解，并激发对更深层次数学知识的兴趣。