【空间向量点到直线的距离公式是什么】在三维几何中，计算一个点到一条直线的距离是一个常见的问题。这个距离可以用向量的方法进行求解，尤其在空间向量中，通过向量的叉乘和模长可以快速得出结果。以下是对“空间向量点到直线的距离公式”的总结与解析。

一、公式简介

设空间中有一条直线 $ L $，其方向向量为 $ \vec{v} $，直线上一点为 $ P_0(x_0, y_0, z_0) $；又设点 $ P(x, y, z) $ 是空间中的一个点，要求该点到直线 $ L $ 的距离 $ d $。

则点 $ P $ 到直线 $ L $ 的距离公式为：

$$

d = \frac{\vec{P_0P} \times \vec{v}}{\vec{v}}

$$

其中：

- $ \vec{P_0P} $ 是从点 $ P_0 $ 到点 $ P $ 的向量；

- $ \vec{v} $ 是直线 $ L $ 的方向向量；

- $ \times $ 表示向量的叉乘；

- $ \cdot $ 表示向量的模长（即长度）。

二、公式推导思路

1. 确定直线参数方程：

直线 $ L $ 可以表示为 $ \vec{r} = \vec{P_0} + t\vec{v} $，其中 $ t \in \mathbb{R} $。

2. 构造向量 $ \vec{P_0P} $：

向量 $ \vec{P_0P} $ 是从直线上一点 $ P_0 $ 指向点 $ P $ 的向量。

3. 利用叉乘求垂线段长度：

向量 $ \vec{P_0P} \times \vec{v} $ 的模长表示由这两个向量组成的平行四边形的面积，而该面积除以底边 $ \vec{v} $ 即为高，也就是点 $ P $ 到直线 $ L $ 的距离。

三、公式应用步骤

四、示例说明

假设直线 $ L $ 通过点 $ P_0(1, 2, 3) $，方向向量为 $ \vec{v} = (2, -1, 1) $，点 $ P(4, 5, 6) $。

- 向量 $ \vec{P_0P} = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3) $

- 叉乘 $ \vec{P_0P} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 3 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (6, 3, -9) $

- 模长 $ \vec{P_0P} \times \vec{v} = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-9)^2} = \sqrt{36 + 9 + 81} = \sqrt{126} $

- $ \vec{v} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} $

- 距离 $ d = \frac{\sqrt{126}}{\sqrt{6}} = \sqrt{21} $

五、总结表格

通过上述方法，我们可以在空间中准确地计算任意一点到直线的距离，且该公式具有较强的通用性和实用性。