【arctanx定义域和值域】在数学中，反三角函数是三角函数的反函数。其中，arctanx 是正切函数 y = tanx 的反函数，用于求解某个角度的正切值对应的角。为了更清晰地理解 arctanx 的性质，我们有必要明确它的定义域和值域。
一、定义域
arctanx 的定义域是指所有可以输入到 arctan 函数中的实数 x 的集合。由于正切函数在区间 (-π/2, π/2) 内是单调递增且可逆的，因此其反函数 arctanx 的定义域为 全体实数，即：
$$
\text{定义域：} \quad (-\infty, +\infty)
$$
也就是说，无论 x 是正数、负数还是零，都可以作为 arctanx 的输入。
二、值域
arctanx 的值域是指该函数输出的所有可能结果的范围。由于 arctanx 是 tanx 在 (-π/2, π/2) 区间上的反函数，因此它的值域为：
$$
\text{值域：} \quad \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)
$$
需要注意的是，arctanx 的值永远不会等于 ±π/2，因为正切函数在这些点上是没有定义的。
三、总结对比表
| 项目 | 内容 |
| 函数名称 | arctanx |
| 定义域 | $(-\infty, +\infty)$ |
| 值域 | $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ |
| 特点 | 反函数，单调递增，奇函数 |
四、补充说明
- arctanx 是一个奇函数，满足：
$$
\arctan(-x) = -\arctan(x)
$$
- 当 x 趋近于正无穷时，arctanx 趋近于 π/2；当 x 趋近于负无穷时，arctanx 趋近于 -π/2。
- arctanx 在实际应用中常用于计算角度，尤其是在工程、物理和计算机图形学中。
通过以上分析可以看出，arctanx 是一个非常重要的函数，在多个领域都有广泛应用。了解它的定义域和值域有助于更好地掌握其性质和使用方法。
