【等比数列求和通项公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。了解等比数列的通项公式和求和公式，对于解决实际问题具有重要意义。以下是对等比数列求和与通项公式的总结。
一、等比数列的基本概念
- 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。
- 公比（记作 $ q $）：相邻两项的比值。
- 首项（记作 $ a_1 $）：数列的第一项。
二、等比数列的通项公式
等比数列第 $ n $ 项的计算公式为：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
其中：
- $ a_n $：第 $ n $ 项；
- $ a_1 $：首项；
- $ q $：公比；
- $ n $：项数。
三、等比数列的求和公式
等比数列前 $ n $ 项的和公式如下：
当 $ q \neq 1 $ 时：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}
$$
或
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}
$$
当 $ q = 1 $ 时：
$$
S_n = a_1 \cdot n
$$
因为此时所有项都相等，所以总和就是首项乘以项数。
四、总结表格
| 公式类型 | 公式表达式 | 说明 |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $ | 求第 $ n $ 项的值 |
| 前 $ n $ 项和公式（$ q \neq 1 $） | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $ | 计算前 $ n $ 项的总和 |
| 前 $ n $ 项和公式（$ q = 1 $） | $ S_n = a_1 \cdot n $ | 所有项相同的情况 |
五、应用举例
假设有一个等比数列，首项 $ a_1 = 2 $，公比 $ q = 3 $，求第 5 项及前 5 项的和。
- 第 5 项：
$$
a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162
$$
- 前 5 项和：
$$
S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 2 \cdot 121 = 242
$$
通过掌握等比数列的通项公式和求和公式，可以更高效地解决相关数学问题，并应用于实际生活中，如金融计算、几何增长分析等领域。
