在数学的世界里，复数是一种既包含实部又包含虚部的数，通常表示为 \(a + bi\) 的形式，其中 \(a\) 和 \(b\) 是实数，而 \(i\) 是虚数单位，满足 \(i^2 = -1\)。当我们面对两个复数相乘的问题时，许多人可能会感到困惑。那么，究竟该如何计算两个复数相乘的结果呢？让我们一步步揭开这个谜题。

首先，假设我们有两个复数：\(z_1 = a + bi\) 和 \(z_2 = c + di\)。按照复数乘法的基本规则，我们将它们展开：

\[

z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di)

\]

接下来，运用分配律进行展开：

\[

z_1 \cdot z_2 = ac + adi + bci + bdi^2

\]

由于 \(i^2 = -1\)，我们可以将 \(bdi^2\) 替换为 \(-bd\)，于是得到：

\[

z_1 \cdot z_2 = ac - bd + (ad + bc)i

\]

这样，我们就得到了复数相乘的结果：实部为 \(ac - bd\)，虚部为 \(ad + bc\)。换句话说，复数相乘的过程可以总结为以下公式：

\[

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

\]

为了更好地理解这一过程，让我们通过一个具体的例子来验证。假设 \(z_1 = 3 + 2i\)，\(z_2 = 1 - 4i\)，则：

\[

z_1 \cdot z_2 = (3 + 2i)(1 - 4i)

\]

按照上述公式计算：

\[

ac - bd = 3 \cdot 1 - 2 \cdot (-4) = 3 + 8 = 11

\]

\[

ad + bc = 3 \cdot (-4) + 2 \cdot 1 = -12 + 2 = -10

\]

因此，最终结果为：

\[

z_1 \cdot z_2 = 11 - 10i

\]

通过这个例子可以看出，复数相乘虽然看起来复杂，但只要掌握了正确的公式和步骤，就能轻松得出答案。这种运算不仅在理论数学中有着重要地位，还在工程学、物理学等领域发挥着关键作用。

总结来说，两个复数相乘的关键在于将它们的实部与虚部分别处理，并注意虚数单位 \(i\) 的特殊性质。希望本文能帮助你更好地理解和掌握这一概念！